数据结构1——基本概念

Posted by DD on 2020-06-05

1. 数据结构

1.1 数据结构的基本概念

  • 数据:数据是信息的载体,是描述客观事物属性的数、字符及所有能输入到计算机中并被计算机程序识别和处理的符号的集合(0和1)。数据是计算机程序加工的原料。
  • 数据元素、数据项:数据元素是数据的基本单位,通常作为一个整体进行考虑和处理。一个数据元素可由若干数据项组成,数据项是构成数据元素的不可分割的最小单位。
  • 数据结构:数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
  • 数据对象:数据对象是具有相同性质的数据元素的集合,是数据的一个子集。
  • 数据类型:是一个值得集合和定义在此集合上的一组操作的总称。
    • 原子类型:其值不可再分的数据类型。(如:int,bool)
    • 结构类型:其值可以再分解为若干成分(分量)的数据类型。(如:struct)
  • 抽象数据类型(Abstract Data Type,ADT):是抽象数据组织及与之相关的操作。ADT用数学化的语言定义数据的逻辑结构、定义运算。与具体的实现无关。

1.2 数据结构的三要素

  • 数据的逻辑结构:

    • 集合:各个元素同属一个集合,别无其他关系
    • 线性结构:数据元素之间是一对一的关系。除了第一个元素,所有元素都有唯一的前驱;除了最后一个元素,所有元素都有唯一后继
    • 树形结构:数据元素之间存在一对多的关系
    • 图状结构(网状结构):数据元素之间是多对多的关系
  • 数据的物理结构(存储结构):

    • 顺序存储:把逻辑上相邻的元素存储再物理位置上也相邻的存储单元中,元素之间的关系由存储单元的邻接关系来体现。
    • 链式存储:逻辑上相邻的元素在物理位置上可以不相邻,借助指示元素存储地址的指针来表示元素之间的逻辑关系。
    • 索引存储:在存储元素信息的同时,还建立附加的索引表。索引表中的每项称为索引项,索引项的一般形式是(关键字,地址)。
    • 散列存储:根据元素的关键字直接计算出该元素的存储地址,又称哈希(Hash)存储。

注: 1.若采用顺序存储,则各个数据元素在物理上必须是连续的;若采用非顺序存储,则各个数据元素在物理上可以是离散的。 2.数据的存储结构会影响存储空间分配的方便程度。 3.数据的存储结构会影响对数据的运算速度。

  • 数据的运算:施加在数据上的运算包括运算的定义和实现。
    • 运算的定义:是针对逻辑结构的,指出运算的功能。
    • 运算的实现:是针对存储结构的,指出运算的具体步骤

2. 算法

2.1 算法的基本概念

程序 = 数据结构 + 算法

  • 算法的特性:

    • 有穷性(Finiteness) : 算法的有穷性是指算法必须能在执行有限个步骤之后终止。
    • 确定性(Definiteness) :算法的每一步骤必须有确切的定义。
    • 可行性(Effectiveness):算法中执行的任何计算步骤都是可以被分解为基本的可执行的操作步骤,即每个计算步骤都可以在有限时间内完成(也称之为有效性)。
    • 输入(Input) :一个算法有0个或多个输入,以刻画运算对象的初始情况,所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件。
    • 输出(Output) :一个算法有一个或多个输出,以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的。
  • 算法的评定:

    • 正确性:是评价一个算法优劣的最重要的标准
    • 可读性:是指一个算法可供人们阅读的容易程度。
    • 健壮性:是指一个算法对不合理数据输入的反应能力和处理能力,也称为容错性。
    • 时间复杂度:是指执行算法所需要的计算工作量。
      • 一般来说,计算机算法是问题规模n 的函数f(n),算法的时间复杂度也因此记做:T(n)=Ο(f(n))因此,问题的规模n 越大,算法执行的时间的增长率与f(n) 的增长率正相关,称作渐进时间复杂度(Asymptotic Time Complexity)。
      • 如何计算:
        • 找到一个基本操作(最深层循环)
        • 分析该基本操作的执行次数x与问题规模n的关系x=f(n)
        • x的数量级O(x)就是算法时间复杂度T(n)
      • 常用技巧:
        • 加法法则:T(n) = T1(n)+T2(n) = max(O(f(n)), O(g(n))) = O(max(f(n), g(n)))。(多项相加,只保留最高阶的项,且系数变为1)
        • 乘法规则:T(n) = T1(n)+T2(n) = O(f(n)) * O(g(n)) = O(f(n) * g(n))。(多项相乘,都保留)
        • 算法时间复杂度:O(1)<O(log_2(n)<O(n)<O(nlog_2(n))<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n) 时间复杂度
      • 三种复杂度:
        • 最坏时间复杂度:考虑输入数据“最坏”的情况
        • 平均时间复杂度:考虑所有输入数据都等概率出现的情况
        • 最好时间复杂度:考虑输入数据“最好”的情况
    • 空间复杂度:算法的空间复杂度是指算法需要消耗的内存空间。
      void test(int n) //存放n占4个字节
      {
          int flag[n];    //声明一个长度为n的数组
          int i;
          //...省略
      }
      //假设一个int变量占4B,则所需内存空间=4+4n+4=4n+8()
      //则该算法空间复杂度为S(n)=O(n)
      
      • 如何计算:
        • 普通程序:
          • 找到所占空间大小和问题规模相关的变量
          • 分析所占空间x与问题规模n的关系x=f(n)
          • x的数量级O(x)就是算法空间复杂度S(n)
        • 递归程序:
          • 找到递归调用的深度x与问题规模n的关系x=f(n)
          • x的数量级O(x)就是算法空间复杂度
          • 注:有的算法各层函数所需存储空间不同,分析方法略有区别